חתך דדקינד

הגדרה

יהי $(X,<)$ סדר קווי צפוף. חתך (חתך דדקינד) הוא קבוצה $C\subseteq X$ המקיימת:

1. סגורה מלמטה: אם $c\in C$ ו-$d<c$ אז $d\in C$.
2. אין מקסימום: $C$ אינה מכילה מקסימום ($\forall c\in C,\exists c^{\prime }\in C:c^{\prime }>c$).

חתך רציונלי (ממומש)

חתך $C\subseteq X$ נקרא רציונלי (ממומש) אם ל-$C$ יש סופרמום ב-$X$ (כלומר $\sup C\in X$).

דוגמאות

ב-$(\mathbb{Q},<)$:

• $C=\{x\in \mathbb{Q}:x<q\}$ — חתך רציונלי (הסופרמום הוא $q\in \mathbb{Q}$).
• $C=\{x\in \mathbb{Q}:x<0\text{ או }{x}^2<2\}$ — חתך אי-רציונלי ($\sup C=\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}$).
• $C=\{x\in \mathbb{Q}:x<\pi \}$ — חתך אי-רציונלי.

תכונות

1. שרשרת מלאה: לכל שני חתכים $C_1,C_2$ מתקיים $C_1\subseteq C_2$ או $C_2\subseteq C_1$.

   הוכחה: נניח $x\in C_2\setminus C_1$. אם $y\in C_1$ אז $y\ngeqq x$ (כי $x\notin C_1$), אז $y<x$ ולכן $y\in C_2$.

2. אוסף החתכים הוא סדר קווי: $(X^{\prime },\subset )$ — אוסף החתכים עם יחס ההכלה הממשית הוא סדר קווי.

3. שיכון של $X$ ב-$X^{\prime }$: לכל $y\in X$ נגדיר $C_y=\{x\in X:x<y\}$. ההעתקה $D:X\to X^{\prime }$, $D(y)=C_y$, היא חד-חד-ערכית ושומרת סדר (שיכון איזומורפי). ניתן לחשוב על $X^{\prime }$ כהרחבה של $X$.

4. $X$ צפופה ב-$X^{\prime }$: לכל $C_1⊊C_2$ ב-$X^{\prime }$, קיים $y\in X$ כך ש-$C_1⊊C_y⊊C_2$.

ראה גם

• שלמות דדקינד
• המספרים הממשיים
• קבוצה סדורה קווית
• קבוצת החתכים היא סדר שלם