תרגול ליניארית 14.4

תרגיל 1

לכל $n\in \mathbb{N}$ חשבו את השארית של $x^n$ לחלק ל$x-6$

פתרון

נחלק עם שארית, $x^n=q_n(x)(x-6)+r_n(x)$ ממשפט החלוקה עם שארית נקבל $deg(r_n)<deg(x-6)<1$ לכן $r_n=a_n$ כאשר $a_n\in \mathbb{R}$ נציב בפולינום $6$ ונקבל $6^n=a_n$.

תרגיל 2

חשבו את שארית החלוקה של $x^n$ ב$x^2-3x+2$

פתרון

$$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$$ $$x^n=q_n(x)(x-2)(x-1)+r_n(x)$$ $$deg(r_n(x))<2$$ $$r_n=a_{n}x+b_n$$

אנו יכולים להציב $1,2$ בפולינום וככה אנחנו נקבל מערכת משוואות ליניארית, ונמצא את $a_n$ ואת $b_n$.

עובדה הצבת מטריצה בפולינום

לכל מטריצה $A\in M_n(x)$ ולכל פולינום $P$ ניתן להציב את $A$ בפולינום $P$ ולקבל מטריצה חדשה $P(A)$

$$P(A)=a_0{I}_n+a_{1}A+a_2{A}^2+\cdots +a_n{A}^n$$

תרגיל 3

מצאו נוסחה עבור $A^n$ כאשר $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ רמז: חשבו את $A^2+3A-2I_2$

פתרון

$$A^2+3A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right)+3\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

עבור הפולינום הזה $P(A)=0_M$ נציב את $A$ במה שמצאנו בתרגיל 2 .

תרגיל 4

תהי $A\in M_n(F)$ הוכיחו כי קיים פולינום לא אפס $P\in F[x]$ כך ש$P(A)=0$.

פתרון

נביט במטריצות הבאות $I_n,A,A^2,\dots ,A^{n^2}$ יש כאן $n^2+1$ מטריצות אבל $Dim(M_n(F))=n^2$ אז הסדרה הזאת תלויה ליניארית, לכן קיימים $a_0,\dots a_{n^2}$ לא כולם אפס כך ש

$$a_{0}I+a_{1}A+\cdots +a_{n^2}{A}^{n^2}=0_M$$

ובאמת זה פולינום שמאפס את המטריצה. אז באמת לכל מטריצה יש פולינום שמאפס אותה.

תרגיל 5

יהי $P\in F[x]$ פולינום לא קבוע כך ש $P(A)=0_M$ אבל גם $P(0_F)\ne 0_F$ הוכיחו כי $A$ הפיכה.

פתרון

$$a_0=p(0_F)\ne 0$$

נציב את $A$

$$0=P(A)=a_{0}I+\cdots +a_m{A}^m$$ $$I=-\frac{a_1}{a_0}A-\cdots -\frac{a_m}{a_0}{A}^m=A\left(\frac{a_1}{a_0}+\cdots +\frac{a_m}{a_0}{A}^{m-1}\right)$$

אז מצאנו כי $A$ הפיכה וגם מצאנו את $A^{-1}$ במקרה הזה קיבלנו שההופכי של $A$ הוא הצבה של $A$ באיזה פולינום (זה משהו כללי)

תרגיל 6

עבור המטריצה $A=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ & 1& \\ & & 2\end{array}\right)$ מצאו פולינום $P$ כך ש $P(A)=\left(\begin{array}{ccc}2& & \\ & 1& \\ & & 4\end{array}\right)$

פתרון

אינטרפולציה פולינומילית.

תרגיל 7

הוכיחו כי אם $A,B\in M_n(F)$ מטריצות דומות ו $f\in F[x]$ אז $f(A)$ דומה ל$f(B)$

פתרון

זה נובע מכך שכל מטריצה דומה למטריצה דומה כפול סקל ולכל חזקה.

ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים

הספקטרום של A הוא אוסף כל הערכים העצמיים של $A$ וזה מסומן כ $\sigma (A)$. לכל $\lambda$ נסמן $V_{\lambda }$ את המרחב העצמי של $\lambda$

תרגיל

הוכיחו ש $0\in \sigma (A)$ אם ורק אם $A$ אינה הפיכה.

נניח כי $0\in \sigma (A)$ אז $0$ הוא ע”ע של $A$ לכן קיים ו”ע $0\ne v\in F^n$ אז יש לה פיתרון לא טריוויאלי ולכן היא אינה הפיכה.

תרגיל

הוכיחו כי $V_{\lambda }$ הוא תת מרחב של $F^n$

פתרון

זה באמת תת מרחב. כי זה קבוצת הפתרונות של הממל ההומוגני $(A-\lambda I_n)v$ אז נסמן גם $V_{\lambda }=ker(A-\lambda I_n)$

תרגיל

תהיי $A\in M_n(F)$ מטריצה ויהיה $B=\left\{v_1\dots ,v_n\right\}$ בסיס של וקטורים עצמיים של $A$ ותהיי $T_A$ ההעתקה המוגדרת על ידי הכפלה ב$A$ חשבו את ${\left[T_A\right]}_B$ והוכיחו שהיא דומה ל$A$

פתרון

וקטור עצמי $v_i$ לכן קיים ${\lambda }_i$ כך ש$A{v}_i={\lambda }_i{v}_i$ נחשב את ${\left[T_A{v}_i\right]}_B$ אז $T_A{v}_i={\lambda }_i{v}_i$ אז ${\left[T_A{v}_i\right]}_B={\lambda }_i\cdot e_i$ ולכן המטריצה ${\left[T_A\right]}_B$ היא מטריצה אלכסונית מורכבת מהסקלרים ${\lambda }_i$ באלכסון. נראה ש$A$ דומה ל${\left[T_A\right]}_B$ כלומר $A$ דומה למטריצה אלכסונית, נשתמש במטריצת החלפת בסיס עם הבסיס הסטנדרטי $E$

$${\left[T_a\right]}_B=[I{]}_B^E\cdot A\cdot [I{]}_E^B$$

למצוא בסיס של וקטורים עצמיים זאת מטרת העל שלנו.