פריקות יחידה בחוג הפולינומים

הרקע

פולינום $f\in F[x]$ ממעלה $\ge 1$ נקרא אי-פריק (irreducible) אם לא ניתן לכתוב $f=gh$ עם $\mathrm{deg}g,\mathrm{deg}h\ge 1$ (כלומר לא ניתן לפרק לגורמים שאינם סקלרים).

המשפט

יהי $F$ שדה. לכל פולינום $0\ne f\in F[x]$ קיימים יחידים סקלר $u\in F^{\ast }$ ופולינומים מתוקנים אי-פריקים $f_1,\dots ,f_m\in F[x]$ כך ש:

$$f=u\cdot f_1\cdot f_2\cdots f_m$$

והפירוק יחיד עד כדי שינוי סדר הגורמים.

הוכחה

קיום הפירוק

באינדוקציה על $\mathrm{deg}f$.

• בסיס: $\mathrm{deg}f=0$: $f=u\in F^{\ast }$, פירוק ריק.
• צעד: נניח שנכון לכל $k<n$ ונוכיח ל-$n$. אם $f$ אי-פריק, הפירוק הוא $f$ עצמו (עם $u$ = המקדם המוביל). אם $f$ פריק, כתוב $f=g\cdot h$ עם $\mathrm{deg}g,\mathrm{deg}h<n$. מהאינדוקציה, גם $g$ וגם $h$ מתפרקים לגורמים אי-פריקים מתוקנים. שרשור הפירוקים נותן פירוק ל-$f$. $■$

יחידות הפירוק

טענת עזר (לֶמָה של אוקלידס): אם $p\in F[x]$ אי-פריק ו-$p\mid gh$, אז $p\mid g$ או $p\mid h$.

הוכחת הלמה: נניח $p\nmid g$. כי $p$ אי-פריק, הממג”ב של $p$ ו-$g$ הוא $1$ (המחלקים של $p$ הם רק סקלרים ו-$p$ עצמו). לפי ייצוג בזו: קיימים $a,b\in F[x]$ עם $ap+bg=1$. לכן:

$$h=h\cdot 1=h(ap+bg)=ahp+b(gh)$$

כי $p\mid p$ ו-$p\mid gh$, נסיק $p\mid h$. $■$

יחידות הפירוק (אינדוקציה): נניח שני פירוקים:

$$f=u_1{p}_1\cdots p_n=u_2{q}_1\cdots q_m$$

עם $p_i,q_j$ מתוקנים אי-פריקים. השוואת המקדמים המובילים נותנת $u_1=u_2$.

נשתמש באינדוקציה על $n$. כי $p_1\mid q_1\cdots q_m$, מהלמה קיים $j$ עם $p_1\mid q_j$. כי $p_1,q_j$ מתוקנים אי-פריקים, $p_1=q_j$. נחלק שני האגפים ב-$p_1=q_j$ וניישם אינדוקציה. $■$

דוגמאות

מעל $\mathbb{R}$: הפולינומים האי-פריקים הם מעלה 1 ורביעים עם דיסקרימיננטה שלילית.

מעל $\mathbb{C}$: לפי המשפט הבסיסי של האלגברה, כל פולינום ממעלה $\ge 1$ מתפרק לגורמים ליניאריים $x-{\lambda }_i$.

ראה גם

• מחלק משותף גדול ביותר של פולינומים
• חלוקת פולינומים עם שארית
• חוגים