משפט השורשים הרציונלים

משפט השורשים הרציונליים

המשפט

יהי פולינום עם מקדמים שלמים:

$$f(x)=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i\in \mathbb{Z}[x]$$

ויהי $\frac{p}{q}\in \mathbb{Q}$ שורש מצומצם (כלומר $\gcd (p,q)=1$, $q>0$) של $f$. אז:

$$p\mid a_0\text{ו-}q\mid a_n$$

הוכחה

מציבים $x=\frac{p}{q}$:

$$\sum _{i=0}^n{a}_i{\left(\frac{p}{q}\right)}^i=0$$

מכפלים ב-$q^n$:

$$a_n{p}^n+a_{n-1}{p}^{n-1}q+\cdots +a_{1}p{q}^{n-1}+a_0{q}^n=0$$

$p\mid a_0$: כל האיברים מלבד $a_0{q}^n$ מתחלקים ב-$p$, לכן $p\mid a_0{q}^n$. מכיוון ש-$\gcd (p,q)=1$: $p\mid a_0$.

$q\mid a_n$: כל האיברים מלבד $a_n{p}^n$ מתחלקים ב-$q$, לכן $q\mid a_n{p}^n$. מכיוון ש-$\gcd (p,q)=1$: $q\mid a_n$. $■$

שימוש

לבדיקת פולינום $f\in \mathbb{Z}[x]$ עבור שורשים רציונליים, בודקים רק שורשים מהצורה $\frac{p}{q}$ כאשר $p\mid a_0$ ו-$q\mid a_n$ — מספר סופי של מועמדים.

דוגמה: $f(x)=6x^3-5x^2+x+1$. המועמדים הם $\pm \frac{p}{q}$ עם $p\in \{1\}$ ו-$q\in \{1,2,3,6\}$: $\pm 1,\pm \frac{1}{2},\pm \frac{1}{3},\pm \frac{1}{6}$.

ראה גם

• חלוקת פולינומים עם שארית
• פריקות יחידה בחוג הפולינומים