תרגיל
תהא פונקציה קמורה הוכיחו שאם היא חסומה מלעיל אז מונוטונית לא עולה.
פתרון
נניח ש קמורה, ונניח בשלילה שהיא אינה מונוטונית יורדת ונוכיח שהיא לאחסומה מלעיל כלומר קיימות כך שגם אבל גם . יהי ונשתמש בלמת המיתרים ונקבל $$ \begin{align} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}&\leq \frac{f(x)-f(b)}{x-b} \ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-b)&\leq f(x)-f(b) \ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot(x-b)+f(b)&\leq f(x) \end{align}
ומשום שהמקדם של $x$ בפונקציה הוא חיובי אז קיבלנו שהפונקציה שואפת לאינסוף # תרגיל הראו כי לכל $x,y \in (0,\infty)$ מתקייםx\ln(x)+y\ln(y)\geq(x+y)\ln\left( \frac{x+y}{2} \right)
### פתרון נסמן $f(x)=x\ln x$ ונגזור $f'(x)=\ln x+1$ כלומר הנגזרת היא [[מונוטוניות|מונוטונית]] עולה ולכן $f$ היא [[קמירות וקעירות|קמורה]] בקטע. נבחר $\lambda=\frac{1}{2}$ ונקבל מההגדרה של [[קמירות וקעירות|קמירות]]\begin{align} f\left( \frac{1}{2} x+\frac{1}{2}y\right)&\leq \frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(y) \ \frac{x+y}{2}\ln\left( \frac{x+y}{2} \right) & \leq \frac{1}{2}x\ln x+\frac{1}{2}y\ln y \ (x+y)\ln\left( \frac{x+y}{2} \right) & \leq x\ln x+y\ln y \end{align}