מבחן ההשוואה הגבולי

הטענה

יהיו ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ ו-${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ שני טורים חיוביים עם $b_n>0$, ונניח ש:

$$\frac{a_n}{b_n}⟶L\in [0,\infty ]$$

1. אם $0<L<\infty$ — הטורים מתכנסים ומתבדרים יחדיו.
2. אם $L=0$ — אם $\sum b_n$ מתכנס אז $\sum a_n$ מתכנס.
3. אם $L=\infty$ — אם $\sum a_n$ מתכנס אז $\sum b_n$ מתכנס.

הוכחה

נובע ממבחן ההשוואה השני:

מקרה $0<L<\infty$: מהגדרת הגבול עם $\epsilon =\frac{L}{2}$, קיים $N$ כך שלכל $n>N$:

$$\frac{L}{2}\le \frac{a_n}{b_n}\le \frac{3L}{2}$$

זו בדיוק ההנחה של מבחן ההשוואה השני עם $\alpha =\frac{L}{2}$, $\beta =\frac{3L}{2}$.

מקרה $L=0$: לכל $\epsilon >0$ קיים $N$ כך שלכל $n>N$: $\frac{a_n}{b_n}<\epsilon$, כלומר $a_n<\epsilon b_n$. לפי מבחן ההשוואה הראשון, אם $\sum b_n$ מתכנס גם $\sum a_n$ מתכנס.

מקרה $L=\infty$: אנלוגי למקרה $L=0$ עם היפוך התפקידים. $■$

אינטואיציה

כאשר $L$ קיים וסופי ואינו אפס, הסדרות $a_n$ ו-$b_n$ “מתנהגות אותו הדבר” אסימפטוטית — שתיהן שואפות לאפס (או לאינסוס) בקצב דומה. לכן הטורים שלהן חולקות את גורלן.

ראה גם

• מבחן ההשוואה הראשון
• מבחן ההשוואה השני