תכונות אלמנטריות

תכונות אלמנטריות של פונקציות

חסומות

פונקציה $f:I\to \mathbb{R}$ נקראת חסומה בקטע $I$ אם קיים $M\in \mathbb{R}$ כך שלכל $x\in I$ מתקיים $|f(x)|\le M$.

• חסומה מלעיל: קיים $M$ כך ש-$f(x)\le M$ לכל $x\in I$.
• חסומה מלרע: קיים $m$ כך ש-$f(x)\ge m$ לכל $x\in I$.

מונוטוניות

פונקציה $f:I\to \mathbb{R}$ נקראת:

• מונוטונית עולה (לא יורדת) אם לכל $x_1<x_2$ בקטע $I$ מתקיים $f(x_1)\le f(x_2)$.
• מונוטונית עולה ממש אם לכל $x_1<x_2$ בקטע $I$ מתקיים $f(x_1)<f(x_2)$.
• מונוטונית יורדת (לא עולה) אם לכל $x_1<x_2$ בקטע $I$ מתקיים $f(x_1)\ge f(x_2)$.
• מונוטונית יורדת ממש אם לכל $x_1<x_2$ בקטע $I$ מתקיים $f(x_1)>f(x_2)$.

קשר לנגזרת

תהי $f$ גזירה בקטע הפתוח $I$:

• $f$ מונוטונית עולה בקטע $⟺f^{\prime }(x)\ge 0$ לכל $x\in I$.
• $f$ מונוטונית יורדת בקטע $⟺f^{\prime }(x)\le 0$ לכל $x\in I$.
• אם $f^{\prime }(x)>0$ לכל $x\in I$ אז $f$ מונוטונית עולה ממש.

חד-חד-ערכיות

פונקציה $f$ נקראת חד-חד-ערכית (ח”ח”ע) בקטע $I$ אם לכל $x_1\ne x_2$ בקטע מתקיים $f(x_1)\ne f(x_2)$.

כל פונקציה מונוטונית ממש היא חד-חד-ערכית.

רציפות

פונקציה $f$ רציפה בנקודה $x_0$ אם ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

הפונקציה $f$ רציפה בקטע $I$ אם היא רציפה בכל נקודה בקטע.

תכונות פונקציות רציפות בקטע סגור $[a,b]$

1. משפט ויירשטראס: פונקציה רציפה בקטע סגור חסומה ומגיעה לערכי המקסימום והמינימום.
2. משפט ערך הביניים (בולצאנו): אם $f$ רציפה ב-$[a,b]$ ו-$f(a)\cdot f(b)<0$ אז קיים $c\in (a,b)$ כך ש-$f(c)=0$.